(1) Travail sur les hauteurs

Dans un repère orthonormé \(\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)\), on considère les points \(\text A (1;1)\), \(\text B (1;-5)\) et \(\text C (6;4)\) formant ainsi le triangle \(\text{ABC}\). On note \(h_1\), \(h_2\) et \(h_3\) les hauteurs issues respectivement des sommets \(\text C\), \(\text B\) et \(\text A\). On donne la propriété suivante.

Propriété
On se place dans un repère orthonormé. On considère deux droites non parallèles à l'axe des ordonnées et de coefficients directeurs \(m\) et \(m^{\prime}\). Ces deux droites sont perpendiculaires si et seulement si  : \(\boxed{m \times m^{\prime} = -1}\).

Montrer que les hauteurs \(h_1\), \(h_2\) et \(h_3\) sont concourantes en un point \(\text H\) dont on précisera les coordonnées.

Conclusion : le point \(\text H\) est appelé orthocentre du triangle \(\text {ABC}\).